已知抛物线 $C_1$ 的顶点 $\left (\sqrt 2-1,1\right)$，焦点 $\left(\sqrt 2-\dfrac 34,1\right)$，另一抛物线 $C_2$ 的方程 $y^2-ay+x+2b=0$，$C_1$ 与 $C_2$ 在一个交点处它们的切线互相垂直，试证 $C_2$ 必过定点，并求该点的坐标．
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每日一题[1550]绝对值的整理
设实数 $a,b$ 满足不等式 $\big| |a| - (a+b)\big| < \big|a-|a+b| \big|$，则 $a$ ____ $0$，$b$____$0$．（填 $>$ 或 $<$）
每日一题[1549]幸运大转盘
如图，将同心圆环均匀分成 $n$（$n\geqslant3$）格，在内环中固定数字 $1\thicksim n$．问能否将数字 $1\thicksim n$ 填入外环格内，使得外环旋转任意格后，有且仅有一个格中内外环的数字相同？
每日一题[1548]裂项放缩
设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}$（$n=1,2,\cdots,2016$）和 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant1$．
每日一题[1547]值域宽度
设 $a\in\mathbb R$，且对任意实数 $b$ 均有 $\max\limits_{x\in[0,1]}| {x^2}+ax+b|\geqslant1$，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[1546]柯西不等式
设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为非负数．求证：\[\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\sqrt{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\sqrt{a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\sqrt{a_n}\geqslant \sqrt{a_1+4a_2+9a_3+\cdots+n^2 a_n}.\]
每日一题[1545]化齐次联立
已知中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 的椭圆过点 $\left(\sqrt2,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$．设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $P,Q$ 两点，且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率依次成等比数列，求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围．
每日一题[1544]三射线定理
如图 $1$，已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5$，$AC=\sqrt{34}$，沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折（点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动），得到如图 $2$ 所示的三棱柱 $ABE-DCF$．
1、若图 $2$ 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形，这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点，试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围．
2、若第 $(1)$ 小题中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数，且线段 $AB$ 的长度取得最小值，求二面角 $C-EF-D$ 的值．
3、在第 $(1)$ 小题与第 $(2)$ 小题的条件都满足的情况下，求三棱锥 $A-BFG$ 的体积．
每日一题[1543]映射计数
已知正整数 $n$ 都可以唯一表示为\[n=a_0+a_1\cdot 9+a_2\cdot 9^2+\cdots +a_m\cdot 9^m\]的形式，其中 $m$ 为非负整数，$a_j\in\{0,1,\cdots,8\}$（$j=0,1,\cdots,m-1$），$ a_m\in\{1,\cdots,8\} $．试求使得上述等式中的数列 $ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_m $ 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 $ n$（包含对应的数列只有一项的情形）的和．
每日一题[1542]数值估计
设 $a=\sqrt 2$，$b={\rm e}^{\frac 1{\pi}}$，$c={\log_2}3$，则[[nn]]
A．$b<a<c$
B．$a<b<c$
C．$b<c<a$
D．$a<c<b$