每日一题[1544]三射线定理

如图 $1$,已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5$,$AC=\sqrt{34}$,沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折(点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动,点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动),得到如图 $2$ 所示的三棱柱 $ABE-DCF$.

1、若图 $2$ 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形,这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点,试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围.

2、若第 $(1)$ 小题中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数,且线段 $AB$ 的长度取得最小值,求二面角 $C-EF-D$ 的值.

3、在第 $(1)$ 小题与第 $(2)$ 小题的条件都满足的情况下,求三棱锥 $A-BFG$ 的体积.

解析

1、根据三射线定理,有\[\cos\angle AGB=\cos\angle AGE\cdot \cos\angle BGE+\sin\angle AGE\cdot\sin\angle BEG\cdot\cos\angle AEB,\]设 $AE=a$,$EG=x$,$\angle AEB=\varphi$,则\[x^2=-a(5-a)\cos\varphi,\]其中 $a\in (0,5)$,$\varphi \in (0,\pi)$,因此 $x$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 52\right)$.

2、根据题意,有 $EG=2$,此时根据余弦定理,有\[AB^2=a^2+(5-a)^2-2a(5-a)\cos\varphi=2a^2-10a+29,\]于是 $a=\dfrac 52$,进而二面角 $C-EF-D$ 的余弦值\[\cos\varphi=-\dfrac{8}{25},\]进而所求二面角大小为 $\pi -\arccos\dfrac8{25}$.

3、根据题意,$\triangle AEB$ 中\[AE=EB=\dfrac 52,\cos\angle AEB=-\dfrac8{25},\]于是三棱锥 $F-AEB$ 的体积\[V=\dfrac 13\cdot 3\cdot\dfrac 12\cdot \left(\dfrac 52\right)^2\cdot \sqrt{1-\left(-\dfrac 8{25}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{561}}8,\]而三棱锥 $A-BFG$ 的体积\[V_{A-BFG}=\dfrac 23V_{A-BFE}=\dfrac 23V_{F-AEB}=\dfrac{\sqrt{561}}{12}.\]

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