每日一题[1548]裂项放缩

设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}$($n=1,2,\cdots,2016$)和 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$,证明:$x_{1009}x_{1010}\leqslant1$.

解析       根据题意,有 $x_n$ 与 $x_{n+2}$ 同号,于是 $1009$ 个奇数项同号,$1009$ 个偶数项同号,结合 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$,可得 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 同号.因此有\[x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}\implies \dfrac{x_{n+1}}{x_n}\leqslant \dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}},\]进而\[\dfrac{x_2}{x_1}\leqslant \dfrac{x_3}{x_2}\leqslant \cdots\leqslant \dfrac{x_{2018}}{x_{2017}},\]因此当 $1\leqslant k\leqslant 1009$ 时,有\[\dfrac{x_{k+1}}{x_k}\cdots \dfrac{x_{1010}}{x_{1009}} \leqslant \dfrac{x_{1010}}{x_{1009}}\cdots \dfrac{x_{2019-k}}{x_{2018-k}}\iff \dfrac{x_{1010}}{x_k}\leqslant \dfrac{x_{2019-k}}{x_{1009}},\]从而\[x_kx_{2019-k}\geqslant x_{1009}x_{1010},\]分别令 $k=1,2,\cdots,1009$,将所得的不等式相乘,可得\[\prod_{n=1}^{2018}x_n\geqslant \left(x_{1009}x_{1010}\right)^{1009}\implies x_{1009}x_{1010}\leqslant 1,\]命题得证.

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