每日一题[1549]幸运大转盘

如图,将同心圆环均匀分成 $n$($n\geqslant3$)格,在内环中固定数字 $1\thicksim n$.问能否将数字 $1\thicksim n$ 填入外环格内,使得外环旋转任意格后,有且仅有一个格中内外环的数字相同?

答案         当 $n$ 为奇数时存在符合题意的填法.

解析        设对应于内环 $1,2,\cdots,n$ 的外环数字为 $i_1,i_2,\cdots,i_n$,它是数字 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列.对 $k=1,2,\cdots,n$,记外环数字 $i_k$ 在按顺时针方向转动 $j_k$ 格时,和内环数字相同,即\[i_k-k\equiv j_k\pmod n,k=1,2,\cdots,n.\]根据题意,$j_1,j_2,\cdots,j_n$ 应是 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的排列.求和\[\begin{split} \sum_{k=1}^n(i_k-k)&\equiv \sum_{k=1}^nj_k\pmod n\\ &\equiv \sum_{k=1}^n(k-1)\pmod n\\ &\equiv \dfrac{n(n-1)}2\pmod n,\end{split}\]于是 $n$ 必须是奇数.

另一方面,对于奇数 $n$,我们取 $i_k=n+1-k$($k=1,2,\cdots,n$),则\[i_1-1,i_2-2,\cdots,i_n-n\]在模 $n$ 的意义下为 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的一个排列,而每次转动 $1$ 格,相应格子中的数之差仍然为 $0,1,2,\cdots,n-1$ 的一个排列,符合题意.

综上所述,当 $n$ 为奇数时存在符合题意的填法.

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