每日一题[1551]切线方程

已知抛物线 $C_1$ 的顶点 $\left (\sqrt 2-1,1\right)$,焦点 $\left(\sqrt 2-\dfrac 34,1\right)$,另一抛物线 $C_2$ 的方程 $y^2-ay+x+2b=0$,$C_1$ 与 $C_2$ 在一个交点处它们的切线互相垂直,试证 $C_2$ 必过定点,并求该点的坐标.

答案       定点的坐标为 $\left(\sqrt 2-\dfrac 12,1\right)$.

解析       根据题意,有\[C_1:(y-1)^2=x-\left(\sqrt 2-1\right),\]即\[C_1:y^2-2y-x+\sqrt 2=0.\]设 $C_1$ 与 $C_2$ 在交点 $(m,n)$ 处的切线互相垂直,则\[\begin{cases} n^2-2n-m+\sqrt 2=0,\\ n^2-an+m+2b=0,\\ \left(-\dfrac 12,n-1\right)\cdot \left(\dfrac 12,n-\dfrac a2\right)=0,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} 2n^2-(a+2)n+\sqrt 2+2b=0,\\ 2n^2-(a+2)n+a-\dfrac 12=0,\end{cases}\]进而\[-a+2b+\dfrac12+\sqrt 2=0,\]于是 $C_2$ 过定点 $\left(\sqrt 2-\dfrac 12,1\right)$.

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