每日一题[1542]数值估计

设 $a=\sqrt 2$,$b={\rm e}^{\frac 1{\pi}}$,$c={\log_2}3$,则[[nn]]

A.$b<a<c$

B.$a<b<c$

C.$b<c<a$

D.$a<c<b$

答案     A.

解析     先比较 $a,b$,即比较 $2^{\pi}$ 与 ${\rm e}^2$ 的大小,也即比较 $\pi \ln 2$ 与 $2$ 的大小.利用进阶放缩易知\[\dfrac 23<\ln 2<\dfrac 34,\]于是 $\pi\ln 2>2$,于是 $a>b$.

再比较 $a,c$,有\[c=\dfrac{11}{7}\cdot {\log_{2^{11}}}{3^7}=\dfrac{11}7{\log_{2048}}2187>\dfrac{11}7=\sqrt{\dfrac{121}{49}}>\sqrt 2.\]

综上所述,有 $b<a<c$.

备注     事实上,用类似的方法可以估算出 ${\log_2}3<\dfrac 85$.

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