每日一题[1550]绝对值的整理

设实数 $a,b$ 满足不等式 $\big| |a| - (a+b)\big| < \big|a-|a+b| \big|$,则 $a$ ____ $0$,$b$____$0$.(填 $>$ 或 $<$)

答案       $<$;$>$.

解析       

法一       根据题意,$|a|,a+b,a,|a+b|$ 均不为 $0$,且 $b\ne 0$.考虑到这四个数之间的联系,设 $A,B,C,D$ 是数轴上顺次四点,$O$ 为数轴原点,且 $|OA|=|OD|$,$|OB|=|OC|$,如图.

考虑到 $|a|,|a+b|$ 为 $C,D$ 或 $D,C$,题中不等式实质为 $|CD|<|BD|$,因此 $a<0$,$a+b>0$,从而 $a<0$,$b>0$.

法二       根据题意,有\[\left(|a|-(a+b)\right)^2<(a-|a+b|)^2,\]即\[a\cdot |a+b|<|a|\cdot (a+b),\]显然 $|a|\cdot |a+b|>0$,于是\[\dfrac{a}{|a|}<\dfrac{a+b}{|a+b|},\]而 $\dfrac{x}{|x|}\in \{-1,1\}$,于是\[\begin{cases} \dfrac{a}{|a|}=-1,\\ \dfrac{a+b}{|a+b|}=1,\end{cases}\implies \begin{cases} a<0,\\ a+b>0,\end{cases} \implies \begin{cases} a<0,\\ b>0.\end{cases}\]

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