已知 $a,b,c$ 是正实数 $a,b,c$ 且满足 $\begin{cases}a^2+b^2=3,\\ a^2+c^2+ac=4,\\ b^2+c^2+\sqrt 3 bc=7,\end{cases}$ 求 $(a,b,c)$．
已知右焦点为 $F$ 的椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}3=1$（$a>\sqrt 3$）与直线 $y=\dfrac{3}{\sqrt 7}$ 相交于 $P,Q$ 两点，且 $PF\perp QF$．
（1）求椭圆 $M$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，$A,B,C$ 是椭圆 $E$ 上不同的三点，并且 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，试探究 $\triangle ABC$ 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
设函数 $f(x)=x^2-ax+b$，其中 $a,b$ 为实数．
（1）当 $a=2$ 时，记函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $g(b)$，求 $g(b)$ 的最小值；
（2）存在实数 $a$，使得当 $x\in [0,b]$ 时，$2\leqslant f(x)\leqslant 6$ 恒成立，求 $b$ 的最大值及此时 $a$ 的值．
若实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $3ab-3bc+2c^2$ 的最大值为______．
已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积 $T_n$ 满足 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 是首项为 $2$ 的等差数列，且 $T_2-T_5=\dfrac 16$．
（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\sqrt{\dfrac n{n+2}}-a_n$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：对任意正整数 $n$，有 $0<S_n<\dfrac 14$．
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 12x^2-2ax$，其中 $a\in \mathbb R$．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（2）已知函数 $g(x)=\dfrac{m\ln x}x+m$，其中 $m>0$，若对任意 $a\in\left[\dfrac 12,1\right]$，存在 $x_1,x_2\in [1,{\rm e}]$，使得 $\left|f(x_1)-g(x_2)\right|<1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知过抛物线 $C:y^2=2px$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $P$ 点，若 $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{PB}=\mu \overrightarrow{BF}$，则 $\lambda+\mu$ 的值是________．
已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\]
（1）求实数 $c$ 的最小值；
（2）当 $c$ 取最小值时，指出等号成立的充要条件．
已知 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$，其中 $\omega >\dfrac 14$，$x\in\mathbb R$，若 $f(x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(2\pi ,3\pi)$，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac 38,\dfrac{11}{12}\right]\cup\left[\dfrac{11}8,\dfrac{19}{12}\right]$
B．$\left(\dfrac 14,\dfrac{5}{12}\right]\cup\left[\dfrac{5}8,\dfrac{3}{4}\right]$
C．$\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$
D．$\left(\dfrac 14,\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}8,\dfrac{17}{12}\right]$
已知函数 $f(x)=\ln x+({\rm e}-a)x-2b$，若不等式 $f(x)\leqslant 0$ 对 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，则 $\dfrac ba$ 的最小值等于________．
