每日一题[1157]有界配可裂

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积 $T_n$ 满足 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 是首项为 $2$ 的等差数列,且 $T_2-T_5=\dfrac 16$.
(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;
(2)设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\sqrt{\dfrac n{n+2}}-a_n$,其前 $n$ 项和为 $S_n$,求证:对任意正整数 $n$,有 $0<S_n<\dfrac 14$.


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分析与解 (1)设数列 $\left\{\dfrac{1}{T_n}\right\}$ 的公差为 $d$,根据题意,有\[\dfrac{1}{T_5}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac 16\cdot \dfrac{1}{T_2}\cdot \dfrac{1}{T_5},\]于是\[3d=\dfrac 16(2+d)(2+4d),\]解得 $d=1$,因此\[\dfrac{1}{T_n}=n+1,n\in\mathbb N^{\ast},\]从而\[a_n=\begin{cases} T_1,&n=1,\\ \dfrac{T_n}{T_{n-1}},&n\geqslant 2,\end{cases}\]整理可得\[a_n=\dfrac{n}{n+1},n\in \mathbb N^{\ast}.\]
(2)根据题意,有\[\begin{split} b_n&=\sqrt{\dfrac{n}{n+2}}-\dfrac{n}{n+1}\\&=\dfrac{\dfrac{n}{n+2}-\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2}{\sqrt{\dfrac n{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}}\\&=\dfrac{\dfrac{n}{(n+2)(n+1)^2}}{\sqrt{\dfrac n{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}},\end{split}\]因而有\[\begin{split}0<b_n=&\dfrac{\dfrac{n}{n+1}}{\sqrt{\dfrac{n}{n+2}}+\dfrac{n}{n+1}}\cdot \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\<&\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right),\end{split}\]累加即得\[0<S_n<\dfrac 14,\]故原命题得证.

 通常需要将代数式转化为有界部分与可裂项部分之积.

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每日一题[1157]有界配可裂》有 1 条评论

  1. tuchuants tuchuants说:

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