已知抛物线方程 $y^2=2px$（$p>0$），过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $2\angle AOF=\angle BOF$，则 $\dfrac{|AF|}{|BF|}=$ （ ）
A．$\dfrac 32$
B．$3$
C．$4$
D．$6$
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每日一题[1570]分类讨论及分离变量
已知关于 $x$ 的方程 $x\ln x-a(x^2-1)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有一个实数解，则 $a$ 的取值范围是_______．
每日一题[1569]换底公式
在 $\triangle ABC$ 中，$AB=5$，$AC=4$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$，设 $P$ 为平面 $ABC$ 上的一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)$ 的最小值是_______．
每日一题[1568]垂直关系
在圆锥中，$M$ 是顶点，$O$ 是底面中心，$A$ 在底面圆周上，$B$ 在底面圆内，$|MA|=6$，$AB\perp OB$，$OH\perp MB$ 于 $H$，$C$ 为 $MA$ 的中点，当四面体 $O-CHM$ 的体积最大时，$|BH|=$ （ ）
A．$\dfrac{\sqrt{66}}{11}$
B．$\dfrac{\sqrt{66}}{22}$
C．$\sqrt 6$
D．$\dfrac{\sqrt 6}2$
每日一题[1567]一图解忧
设 $a>0$，$b>0$，${\rm e}$ 是自然对数的底数，则下列正确的是( )
A．若 ${\rm e}^a+2a={\rm e}^b+3b$，则 $a>b$
B．若 ${\rm e}^a+2a={\rm e}^b+3b$，则 $a<b$
C．若 ${\rm e}^a-2a={\rm e}^b-3b$，则 $a>b$
D．若 ${\rm e}^a-2a={\rm e}^b-3b$，则 $a<b$
每日一题[1566]构造函数
定义在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 的函数 $f(x)$ 使不等式 $2f(x)<xf'(x)<3f(x)$ 恒成立，其中 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则（ ）
A．$8<\dfrac {f(2)}{f(1)}<16$
B．$4<\dfrac {f(2)}{f(1)}<8$
C．$3<\dfrac {f(2)}{f(1)}<4$
D．$2<\dfrac {f(2)}{f(1)}<3$
每日一题[1565]一网打尽
已知函数 $f(x)={\rm ln}x$，$g(x)=\dfrac12x^2-bx$（$b>1$ ）．对于区间 $[1,2]$ 内的任意两个不相等的实数 $x_1,x_2$ 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|>|g(x_1)-g(x_2)|$ 成立，求 $b$ 的取值范围．
每日一题[1564]图象组合
若函数 $f(x)=(x^2-1)^2-|x^2-1|+k$ 恰好有 $8$ 个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是_______．
每日一题[1563]化简函数
已知 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=|a^2x^2-1|+ax$，若 $f(x)\geqslant|x|$ 对一切 $x\in[b,+\infty)$ 都成立，则 $m=a^2b^2+\left(b-\dfrac12\right)^2$ 的最小值为________．
每日一题[1562]三倍角公式
设函数 $f(x)=ax^3-3x+1$（$x\in\mathbb R$），若对于任意 $x\in[-1,1]$ 都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，则实数 $a$ 的值为_______．