每日一题[1159]水来土掩

设函数 $f(x)=x^2-ax+b$,其中 $a,b$ 为实数.

(1)当 $a=2$ 时,记函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $g(b)$,求 $g(b)$ 的最小值;

(2)存在实数 $a$,使得当 $x\in [0,b]$ 时,$2\leqslant f(x)\leqslant 6$ 恒成立,求 $b$ 的最大值及此时 $a$ 的值.

    (1)根据题意,有\[f(x)=x^2-2x+b,\]于是函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值\[\begin{split} g(b)&=\max\left\{|f(0)|,|f(1)|,|f(4)|\right\}\\
&=\max \left\{|b|,|b-1|,|b+8|\right\}\\
&=\begin{cases} 1-b,&b<-\dfrac 72,\\ b+8,&b\geqslant -\dfrac 72,\end{cases},\end{split}\]其最小值为\[g\left(-\dfrac 72\right)=\dfrac 92.\]
(2)根据题意,有\[\begin{cases} 2\leqslant f(0)\leqslant 6,\\ 2\leqslant f(b)\leqslant 6,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} 2\leqslant b\leqslant 6,\\ 2\leqslant b^2-ab+b\leqslant 6.\end{cases}\]
情形一 $a\leqslant 0$.此时\[6\geqslant b^2-ab+b\geqslant b^2+b,\]于是 $b\leqslant 2$.

情形二 $0<\dfrac a2\leqslant b$.此时\[2\leqslant f\left(\dfrac a2\right)\leqslant 6,\]也即\[2\leqslant b-\dfrac {a^2}4\leqslant 6,\]从而\[a\leqslant 2\sqrt{b-2},\]这样就有\[6\geqslant b^2-ab+b\geqslant b^2-2\sqrt{b-2}\cdot b+b,\]令 $t=\sqrt{b-2}$,整理得\[t(t-1)\left(t^2-t+4\right)\leqslant 0,\]于是\[0\leqslant t\leqslant 1,\]从而 $b\leqslant 3$,等号当 $b=3$,$a=2$ 时取得.

情形三 $\dfrac a2>b$.此时\[2\leqslant b^2-ab+b\leqslant b^2-2b\cdot b+b=-b^2+b,\]矛盾.

综上所述,$b$ 的最大值为 $3$,此时 $a$ 的值为 $2$.

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