每日一题[1161]构造图形

已知 $a,b,c$ 是正实数 $a,b,c$ 且满足 $\begin{cases}a^2+b^2=3,\\ a^2+c^2+ac=4,\\ b^2+c^2+\sqrt 3 bc=7,\end{cases}$ 求 $(a,b,c)$.

    如图,以 $O$ 为出发点,作长度为 $a,b,c$ 的三条线段 $OA,OB,OC$,使得 $\angle AOB=90^{\circ}$,$\angle AOC=120^{\circ}$.由已知条件可得\[\angle COB=150^{\circ}.\]由余弦定理知\[AB=\sqrt {a^2+b^2}=\sqrt 3 , AC=2 , BC=\sqrt 7,\] 于是 $\angle CAB=90^{\circ}$.过 $O$ 作 $OE\perp AC$,$OF\perp AB$.设 $AE=m$,$OE=n$.

因为 $\angle ABO= \angle OAE $,所以 $\dfrac {OF}{BF}=\dfrac {OE}{AE}$,即\[\dfrac {n}{m}=\dfrac {m}{\sqrt 3-n}.\]又 $\angle AOC=120^{\circ}$,所以 $\tan \angle AOC=-\sqrt 3$,即\[\dfrac {\dfrac mn+\dfrac {2-m}{n}}{1-\dfrac mn\cdot \dfrac {2-m}{n}}=-\sqrt 3,\]于是可得\[\begin{cases}m=\dfrac {30}{37},\\ n =\dfrac {12\sqrt 3}{37},\end{cases}\]所以\[(a,b,c)=\left(\dfrac {6\sqrt {37}}{37},\dfrac {5\sqrt {111}}{37},\dfrac {8\sqrt {37}}{37}\right).\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1161]构造图形》有 1 条评论

  1. liuyh03说:

    赞!!初中学勾股定理时应该就做过用勾股来构造线段求面积的题,勾股是余弦定理的特殊情况。

发表评论