每日一题[1158]一较高下

若实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$,则 $3ab-3bc+2c^2$ 的最大值为______.


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正确答案是$3$.

分析与解 法一 根据题意,引入参数 $\lambda,\mu$,且 $\lambda,\mu>0$,有\[3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(\lambda a^2+\dfrac{b^2}{\lambda}+\mu b^2+\dfrac{c^2}{\mu}+\dfrac {4c^2}3\right),\]令\[\lambda=\dfrac{1}{\lambda}+\mu=\dfrac{1}{\mu}+\dfrac 43,\]解得 $\lambda =2$,$\mu=\dfrac 32$,于是\[3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=3,\]等号当 $2a=b$ 且 $\dfrac 32b=-c$,也即\[(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}},-\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)\]时取得,因此所求代数式的最大值为 $3$.

法二 设\[F(a,b,c,\lambda)=3ab-3bc+2c^2+\lambda\left(a^2+b^2+c^2-1\right),\]则由拉格朗日乘数法,可得\[\begin{cases} 3b+2a\lambda=0,\\3a-3c+2b\lambda=0 ,\\-3b+4c+2c\lambda=0,\\a^2+b^2+c^2-1=0,\end{cases}\]于是\[\lambda=-\dfrac{3b}{2a}=\dfrac{3c-3a}{2b}=\dfrac{3b-4c}{2c},\]进而可得\[\dfrac ba=2,\dfrac cb=-\dfrac 32,\lambda=-3.\]因此有\[3ab-3bc+2c^2-3\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=3-\dfrac 34(2a-b)^2-\dfrac 14(3b+2c)^2\leqslant 3,\]因此所求代数式的最大值为 $3$.


下面给出一道练习:

已知 $O$ 为坐标原点,点 $P$ 为曲线 $2xy-5x-4y+6=0$ 上的动点,则 $OP$ 的最小值为_______.

正确答案是$\dfrac{\sqrt5}2$.

 设目标函数为 $f(x,y)=x^2+y^2$,考虑函数 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$,由拉格朗日乘数法可得\[\begin{cases} 2x+\lambda\cdot \left(2y-5\right)=0,\\
2y+\lambda\cdot \left(2x-4\right)=0,\end{cases}\]解得\[(x,y,\lambda)=\left(1,\dfrac 12,\dfrac 12\right).\]于是\[\begin{split} OP^2&=x^2+y^2\\&=x^2+y^2+\dfrac 12\left(2xy-5x-4y+6\right)\\&=\left(x+\dfrac 12y-\dfrac 54\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 54\\&\geqslant \dfrac 54,\end{split}\]等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac 12\right)$ 时取得.因此所求 $OP$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}2$.

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