每日一题[1468]相遇与行程

已知一段斜坡长度为 $a$,$A$ 在坡顶以速率 $v_1$ 向坡底运动,$B$ 在坡底以速率 $v_2$ 向坡顶运动.$C$ 的起始位置与 $A$ 相同,下坡的速率为 $v_3$($v_3>v_1$),上坡的速率为 $v_4$($v_4>v_2$),且 $C$ 在 $A,B$ 之间往复运动(每当遇到 $A$ 或 $B$ 时改变方向).求当 $A$ 与 $B$ 相遇时,$C$ 总共运动的路程.

答案       $a\cdot \dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}$.

解析       $C$ 第一次往复运动完成(再次与 $A$ 在同一位置)时,$A,B$ 的距离为\[a-\left(\dfrac{a}{v_2+v_3}+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}\right)\cdot (v_1+v_2)=a\cdot \dfrac{(v_3-v_1)(v_4-v_2)}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)},\]此时 $C$ 运动的路程为\[\dfrac{a}{v_2+v_3}\cdot v_3+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}\cdot v_4=a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)},\]于是所求路程为\[\dfrac {a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}{1-\dfrac{(v_3-v_1)(v_4-v_2)}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}=a\cdot\dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}.\]

备注      考虑 $C$ 第一次往复运动完成(再次与 $A$ 在同一位置)过程中的平均速度为\[\dfrac{a\cdot \dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{(v_1+v_4)(v_2+v_3)}}{\dfrac{a}{v_2+v_3}+\dfrac{a-(v_1+v_2)\cdot \dfrac{a}{v_2+v_3}}{v_1+v_4}}=\dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{v_3+v_4},\]从而 $C$ 总共运动的路程为\[\dfrac{v_1v_3-v_1v_4+2v_3v_4}{v_3+v_4}\cdot \dfrac{a}{v_1+v_2}= a\cdot \dfrac{v_1(v_3-v_4)+2v_3v_4}{(v_1+v_2)(v_3+v_4)}.\]

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