已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2=8$ 且 $bc-c^2-4\ne 0$，则代数式 $m=\dfrac{ac-c^2-4}{bc-c^2-4}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\infty,2-\sqrt 3\right)$
B．$\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$
C．$\left(2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right)$
D．$\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，$P$ 为椭圆上不在坐标轴上的点，过 $F$ 作 $PF$ 的垂线交 $l$ 于 $Q$，$O$ 为坐标原点．
1、求证：直线 $OP$ 和直线 $PQ$ 的斜率之积为定值；
2、若存在点 $P$，使得 $O,F,P,Q$ 四点共圆，求椭圆 $E$ 的离心率的取值范围．
已知函数 $f(x)=2x^2+t^2$，$g(x)=|x+t-1|$，且对任意实数 $t$，关于 $x$ 的不等式 $f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\geqslant m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
若函数 $f(x)=mx+\dfrac{\sin x}{{\rm e}^x}$ 在 $(0,2\pi)$ 上有一个极大值和一个极小值，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-{\rm e}^{-2\pi},{\rm e}^{-\frac{\pi}2}\right)$
B．$\left(-{\rm e}^{-\pi},{\rm e}^{-2\pi}\right]$
C．$\left(-{\rm e}^{\pi},{\rm e}^{-\frac{5\pi}2}\right)$
D．$\left(-{\rm e}^{-3\pi},{\rm e}^{\pi}\right]$
已知 $a=1.01^{100.3}$，$b=1.1^{10.5}$，$c={\rm e}$，用 $<$ 将 $a,b,c$ 连接起来的结果是_______．
双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$M,N$ 两点在双曲线 $C$ 上，且 $MN\parallel F_1F_2$，$|F_1F_2|=4|MN|$，线段 $F_1N$ 交双曲线 $C$ 于点 $Q$，且 $17|F_1Q|=32|QN|$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为_______．
已知 $a_1>0$，$b_1>0$，且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，$b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{50}+b_{50}>20$．
已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$，则下列结论正确的是（ ）
A．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n<\sqrt 2b_n$
B．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n>\sqrt 2b_n$
C．数列 $\left\{|a_n-\sqrt 2\cdot b_n|\right\}$ 是递增数列
D．数列 $\left\{\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|\right\}$ 是递减数列
在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$SA=\sqrt 3$，$SB=2\sqrt 3$，二面角 $S-AB-C$ 的大小为 $120^\circ$，则此三棱锥的外接球的表面积为_______．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$a>b>0$，其离心率 $e=\dfrac12$，过椭圆 $E$ 内一点 $P(1,1)$ 的两条直线分别与椭圆交于点 $A,C$ 和 $B,D$，且满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$，其中 $\lambda$ 为实数，当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时，对应的 $\lambda=\dfrac57$．
1、求椭圆的方程；
2、当 $\lambda$ 变化时，直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；否则，请说明理由．
