每日一题[1265]弦长之比

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$,$F_2(c,0)$,$M,N$ 两点在双曲线 $C$ 上,且 $MN\parallel F_1F_2$,$|F_1F_2|=4|MN|$,线段 $F_1N$ 交双曲线 $C$ 于点 $Q$,且 $17|F_1Q|=32|QN|$,则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为_______.

答案    $9$.

解析    根据题意,有 $N$ 点的横坐标为 $\dfrac c4$,$Q$ 点的横坐标为\[\dfrac{-c+\dfrac c4\cdot \dfrac{32}{17}}{1+\dfrac{32}{17}}=-\dfrac{9c}{49},\]于是根据双曲线的焦半径公式 I,有\[\begin{split} NF_1&=\dfrac ca\cdot \dfrac c4+a,\\ QF_1&=-\left[\dfrac ca\cdot \left(-\dfrac{9c}{49}\right)+a\right],\end{split}\]从而由\[\dfrac{NF_1}{QF_1}=\dfrac{49}{32},\]可得\[\dfrac{\dfrac 14e^2+1}{\dfrac{9}{49}e^2-1}=\dfrac{49}{32},\]解得 $e=9$.

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