每日一题[1263]数列方程组

已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$,$a_{n+1}=a_n+2b_n$,$b_{n+1}=a_n+b_n$,则下列结论正确的是(       )

A.只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n<\sqrt 2b_n$

B.只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n>\sqrt 2b_n$

C.数列 $\left\{|a_n-\sqrt 2\cdot b_n|\right\}$ 是递增数列

D.数列 $\left\{\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|\right\}$ 是递减数列

答案    D.

解析    引入参数 $\lambda$,有\[a_{n+1}+\lambda\cdot b_{n+1}=(1+\lambda)\cdot a_n+(2+\lambda)\cdot b_n,\]令\[\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1+\lambda}{2+\lambda},\]解得\[\lambda =\pm\sqrt 2.\]于是\[\begin{split} a_{n+1}+\sqrt 2\cdot b_{n+1}=(1+\sqrt 2)\cdot (a_n+\sqrt 2\cdot b_n),\\ a_{n+1}-\sqrt 2\cdot b_{n+1}=(1-\sqrt 2)\cdot (a_n-\sqrt 2\cdot b_n),\end{split}\]从而\[\begin{split} a_n+\sqrt 2\cdot b_n=(1+\sqrt 2)^n,\\ a_n-\sqrt 2\cdot b_n=(1-\sqrt 2)^n,\end{split}\]从而选项 ABC 均错误. 对于选项 D,由于\[b_{n+1}-b_n=a_n>0,\]于是 $\{b_n\}$ 是单调递增的正项数列,又\[\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|=\dfrac{1}{b_n}\cdot |a_n-\sqrt 2\cdot b_n|,\]于是命题正确.

备注    事实上,有\[\begin{split} a_n&=\dfrac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n}2,\\ b_n&=\dfrac{(1+\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)^n}{2\sqrt 2},\\ \dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2&=\sqrt 2\cdot \dfrac{2\cdot (-1)^n}{(1+\sqrt 2)^{2n}-(-1)^n}.\\ \end{split}\]

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