每日一题[1269]参数方程

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点为 $F$,右准线为 $l$,$P$ 为椭圆上不在坐标轴上的点,过 $F$ 作 $PF$ 的垂线交 $l$ 于 $Q$,$O$ 为坐标原点.

1、求证:直线 $OP$ 和直线 $PQ$ 的斜率之积为定值;

2、若存在点 $P$,使得 $O,F,P,Q$ 四点共圆,求椭圆 $E$ 的离心率的取值范围.

解析

1、设 $F(c,0)$,$P(a\cos\theta,b\sin\theta)$,$Q\left(\dfrac{a^2}c,t\right)$,则由 $PF\perp FQ$ 可得\[\left(a\cos\theta-c,b\sin\theta\right)\cdot \left(\dfrac{a^2}c-c,t\right)=0,\]整理可得\[t=\dfrac{bc-ab\cos\theta}{c\sin\theta}.\]因此直线 $OP$ 与直线 $PQ$ 的斜率之积为\[\dfrac{b\sin\theta}{a\cos\theta}\cdot \dfrac{t-b\sin\theta}{\dfrac{a^2}c-a\cos\theta}=-\dfrac{b^2}{a^2}.\]

2、由于 $FP\perp FQ$,于是 $O,F,P,Q$ 等价于 $OP\perp OQ$,从而\[(a\cos\theta,b\sin\theta)\cdot \left(\dfrac{a^2}{c},\dfrac{bc-ab\cos\theta}{c\sin\theta}\right)=0,\]整理得\[\cos\theta=-\dfrac{b^2}{ac},\]由\[-1<-\dfrac{b^2}{ac}<1\]解得\[\dfrac{\sqrt 5-1}2<e<1,\]于是椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,1\right)$.

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