每日一题[1270]围魏救赵

已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2=8$ 且 $bc-c^2-4\ne 0$,则代数式 $m=\dfrac{ac-c^2-4}{bc-c^2-4}$ 的取值范围是(       )

A.$\left(-\infty,2-\sqrt 3\right)$

B.$\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$

C.$\left(2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right)$

D.$\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$

答案    D.

解析    根据题意,有\[a-bm=(1-m)\left(c+\dfrac 4c\right),\]又\[(a-bm)^2\leqslant (a^2+b^2)(1+m^2),\]因此\[(1-m)^2\left(c+\dfrac 4c\right)^2\leqslant 8(1+m^2),\]进而\[16(1-m)^2\leqslant 8(1+m^2),\]解得\[2-\sqrt 3\leqslant m\leqslant 2+\sqrt 3,\]等号当 $c=\pm 2$ 且\[\dfrac{a}{-b}=\dfrac{1}{m}\]时可以取得,因此所求的取值范围是 $\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$.

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