每日一题[1262]暗藏勾股

在三棱锥 $S-ABC$ 中,$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形,$SA=\sqrt 3$,$SB=2\sqrt 3$,二面角 $S-AB-C$ 的大小为 $120^\circ$,则此三棱锥的外接球的表面积为_______.

答案    $21\pi$

解析    注意到\[SA^2+AB^2=SB^2,\]于是 $\triangle SAB$ 是以 $A$ 为直角的直角三角形,于是三棱锥 $S-ABC$ 的外接球球心 $O$ 在面 $ABC$ 上的投影为正 $\triangle ABC$ 的中心 $P$,在面 $SAB$ 上的投影为直角 $\triangle SAB$ 斜边 $SB$ 的中点 $Q$.考虑平面 $OPQ$ 截三棱锥 $S-ABC$ 所得的截面为 $CMQ$,其中 $M$ 为 $AB$ 的中点,如图.

连接 $OM$,由于\[QM=\dfrac 12\cdot SA=\dfrac{\sqrt 3}2,MP=\dfrac 13\cdot CM=\dfrac{\sqrt 3}2,\]于是 $\triangle OQM$ 与 $\triangle OPM$ 全等,进而\[OM=2MP=\sqrt 3,\]根据余弦定理,可得\[OC=\sqrt{OM^2+CM^2-2\cdot OM\cdot CM\cdot \cos 60^\circ}=\dfrac{\sqrt{21}}2,\]于是所求外接球的表面积为\[4\pi\cdot OC^2=27\pi.\]

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