每日一题[1261]调和分割

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$,$a>b>0$,其离心率 $e=\dfrac12$,过椭圆 $E$ 内一点 $P(1,1)$ 的两条直线分别与椭圆交于点 $A,C$ 和 $B,D$,且满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC}$,$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$,其中 $\lambda$ 为实数,当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时,对应的 $\lambda=\dfrac57$.

1、求椭圆的方程;

2、当 $\lambda$ 变化时,直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 是否为定值?若是定值,请求出该定值;否则,请说明理由.

解析

1、当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时,对应的 $\lambda=\dfrac57$,此时点 $P,C,A$ 的坐标分别为$$(1,1),(a,0),\left(\dfrac{12}{7}-\dfrac{5}{7}a,\dfrac{12}{7}\right),$$将 $A$ 点坐标代入椭圆方程解得 $a=2$,又因为离心率\[e=\dfrac ca=\dfrac12,\]所以 $c=1$,所以$$b=\sqrt{a^2-c^2},$$所以所求椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1.$$

2、设点 $M$ 在直线 $AC$ 上,点 $N$ 在直线 $BD$ 上,并且满足$$\left(\dfrac{AP}{PC}=\dfrac {AM}{MC}=\lambda\right)\land\left( \dfrac{BP}{PD}=\dfrac{BN}{ND}=\lambda\right),$$则易知 $M,P$ 调和分割 $A,C$,$N,P$ 调和分割 $B,D$,于是可知点 $M,N$ 均在点 $P$ 关于椭圆的极线方程上,即在直线$$l:\dfrac x4+\dfrac y3=1,$$又由于 $AB\parallel CD$,易证得 $l\parallel AB$,所以直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 为定值 $-\dfrac34$.

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