每日一题[1268]引入参数

已知函数 $f(x)=2x^2+t^2$,$g(x)=|x+t-1|$,且对任意实数 $t$,关于 $x$ 的不等式 $f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\geqslant m$ 恒成立,则实数 $m$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(-\infty,\dfrac{7-\sqrt{33}}2\right]$.

解析    根据题意,有\[\dfrac m2\leqslant \max\{f(x),g(x)\},\]于是问题的关键在于求 $\max\{f(x),g(x)\}$ 的最小值.引入参数,有\[\begin{split}\max\{f(x),g(x)\}&\geqslant \lambda (2x^2+t^2)+(1-\lambda)|x+t-1|\\ &\geqslant 2\lambda x^2-(1-\lambda)x+\lambda t^2-(1-\lambda)t+1-\lambda\\ &=2\lambda\left(x-\dfrac{1-\lambda}{4\lambda}\right)^2+\lambda\left(t-\dfrac{1-\lambda}{2\lambda}\right)^2+1-\lambda-\dfrac{3(1-\lambda)^2}{8\lambda},\end{split}\]等号当\[\begin{cases} 0\leqslant \lambda \leqslant 1,\\ 2x^2+t^2=1-x-t,\\ x+t-1\leqslant 0,\\ x=\dfrac{1-\lambda}{4\lambda},\\ t=\dfrac{1-\lambda}{2\lambda},\end{cases}\]也即\[\begin{cases} \lambda=\sqrt{\dfrac{3}{11}},\\ x=\dfrac{1}{12}\left(\sqrt{33}-3\right),\\ t=\dfrac 16\left(\sqrt{33}-3\right)\end{cases}\]时取得.因此 $\max\{f(x),g(x)\}$ 的最小值为 $\dfrac{7-\sqrt{33}}4$,所求实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{7-\sqrt{33}}2\right]$.

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