Math173

在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 在平面 $\alpha$ 内，则当正方体绕着 $BD$ 旋转的过程中，正方体在平面 $\alpha$ 内的投影面积 $S$ 的取值范围是_______．

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设 $D$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，三角形 $DBC,DCA,DAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_1:S_2:S_3=\tan A:\tan B:\tan C$，$DA=DB=DC=2$，动点 $P,M$ 满足 $AP=1$，$M$ 为 $PC$ 的中点，则 $BM$ 的最小值为_______．

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点 $D$ 为 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 上一点，$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow {DC}$，$E_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）为边 $AC$ 上的点列，且满足 $\overrightarrow{E_nA}=\dfrac14a_{n+1}\overrightarrow{E_nB}-\left(3a_n+3^{n+1}\right)\overrightarrow{E_nD}$，若 $a_1=3$，则 $a_n=$_______．

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已知 $a,b,c$ 是正数，且 $abc\leqslant 1$，求证：$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\geqslant 2(a+b+c)$．

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已知双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}3=1$，动直线 $y=-2x+m$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的上方），且与 $y$ 轴交于点 $M$，则 $\dfrac{|MB|}{|MA|}$ 的取值范围为_______．

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设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，$\eta,\xi$ 是方程 $f(x)=0$ 的根，且 $f'(\xi)=0$，当 $0<\xi-\eta<1$ 时，关于函数 $g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+(b+2)x+(c-b+\eta)\ln x+d$ 在区间 $(\eta+1,\xi+1)$ 内的零点个数的说法中，正确的是（       ）

A．至少有一个零点

B．至多有一个零点

C．可能存在 $2$ 个零点

D．可能存在 $3$ 个零点

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已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 ${\rm e}^x-2x\ln x-kx-1\geqslant 0$ 对任意实数 $x>0$ 都成立，记 $k$ 的最大值为 $\lambda$，求证：$\lambda >1.3$．

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已知函数 $f(x)={\rm e}^{mx-1}-\dfrac{\ln x}x$，其中 $m$ 是实数．

1、若 $m=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 $f(x)$ 的最小值为 $m$，求 $m$ 的最小值．

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方程 $\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}\right)=2018x^{2017}$ 的实数解个数为_______．

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数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac2{a_n}-1$，$n\in \mathbb N^\ast$ 且数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$．

1、若 $\{a_n\}$ 是递增数列，求 $a_1$ 的取值范围；

2、若 $a_1>2$，且对任意 $n\in\mathbb N^\ast$，都有 $S_n\geqslant na_1-\dfrac13(n-1)$，证明：$S_n<2n+1$．

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