每日一题[1199]三分天下

在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,底面 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 在平面 $\alpha$ 内,则当正方体绕着 $BD$ 旋转的过程中,正方体在平面 $\alpha$ 内的投影面积 $S$ 的取值范围是_______.

    $\left[a^2,\sqrt 3a^2\right]$.

根据题意,所求投影为 $\triangle A_1B_1D_1,BB_1D_1D,\triangle CBD$ 在平面 $\alpha$ 上的投影面积之和.设平面 $CBD$ 与平面 $\alpha$ 的夹角为 $\theta$,则\[S=\left|a^2\cdot \cos\theta\right|+\left|\sqrt 2a^2\cdot \sin\theta\right|,\]于是 $S$ 的最小值为 $a^2$,当 $\theta=0$ 时取得;$S$ 的最大值为 $\sqrt 3 a^2$,当 $\theta=\arctan\sqrt 2$ 时取得,因此所求投影面积 $S$ 的取值范围是 $\left[a^2,\sqrt 3a^2\right]$.

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