每日一题[1195]两根商的韦达定理

已知双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}3=1$,动直线 $y=-2x+m$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A,B$ 两点($A$ 在 $B$ 的上方),且与 $y$ 轴交于点 $M$,则 $\dfrac{|MB|}{|MA|}$ 的取值范围为_______.

ph1994-p00610

    $\left(1,7+4\sqrt 3\right)$

设 $\dfrac{|MB|}{|MA|}=\lambda$($\lambda> 1$),联立直线与双曲线方程,有\[x^2-4mx+m^2+3=0,\]其判别式\[\Delta=12\left(m^2-1\right),\]因此 $m^2>1$.又根据韦达定理,有\[(-4m)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot 1\cdot \left(m^2+3\right),\]于是\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{16m^2}{m^2+3}-2,\]从而 $\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$ 的取值范围是 $(2,14)$,因此 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(1,7+4\sqrt 3\right)$.

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