每日一题[1191]居中对齐

方程 $\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}\right)=2018x^{2017}$ 的实数解个数为_______.

east-ep-a10-13466295

    $1$.

根据题意,有\[1+x^2+x^4+\cdots+x^{2016}+x^{2018}+x^{2020}+x^{2022}+\cdots+x^{4034}=2018x^{2017},\]于是\[x^{-2017}+x^{-2015}+\cdots+x^{-1}+x^1+x^3+x^5+\cdots+x^{2017}=2018,\]根据均值不等式有\[x^{-2017}+x^{-2015}+\cdots+x^{-1}+x^1+x^3+x^5+\cdots+x^{2017}\geqslant 2018,\]等号当 $x=1$ 时取得,因此所求方程的实数解个数为 $1$,且该实数解为 $x=1$.

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