每日一题[1192]最小值的最小值

已知函数 $f(x)={\rm e}^{mx-1}-\dfrac{\ln x}x$,其中 $m$ 是实数.

1、若 $m=1$,求函数 $f(x)$ 的单调区间;

2、若 $f(x)$ 的最小值为 $m$,求 $m$ 的最小值.

解    1、根据题意,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=m{\rm e}^{mx-1}+\dfrac{\ln x-1}{x^2},\]当 $m=1$ 时,有\[f'(x)=\dfrac{x^2{\rm e}^{x-1}+\ln x-1}{x^2},\]注意到分子部分在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,且零点为 $x=1$,于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$,单调递减区间是 $(0,1)$.

2、根据题意,函数\[\varphi(x)=x{\rm e}^{mx-1}-mx-\ln x\]的最小值为 $0$,其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{(mx+1)\left(x{\rm e}^{mx-1}-1\right)}{x}.\]当 $m<0$ 时,考虑函数\[\mu(x)=x{\rm e}^{mx-1}-1,\]则其导函数\[\mu'(x)={\rm e}^{mx-1}(mx+1),\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\mu'(x)&+&0&-\\ \hline
\mu(x)&\nearrow&-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1&\searrow \\ \hline
\end{array}\]
情形一   $m<-{\rm e}^{-2}$.此时 $\mu(x)<0$,于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\varphi'(x)&-&0&+\\ \hline
\varphi(x)&\searrow&\min&\nearrow \\ \hline
\end{array}\]而\[\varphi\left(-\dfrac 1m\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}+1-\ln\left(-\dfrac{1}{m}\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1-\ln\left(-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}\right)>0,\]不符合题意.
情形二   $m=-{\rm e}^{-2}$.此时 $\mu(x)\leqslant 0$,等号当且仅当 $x=-\dfrac 1m$ 时取得,于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\varphi'(x)&-&0&+\\ \hline
\varphi(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline
\end{array}\]符合题意.
综上所述,实数 $m$ 的最小值为 $-{\rm e}^{-2}$.

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每日一题[1192]最小值的最小值》有 2 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    好题!
    还可以证明:当\(m\ge-{rm e}^{-2}\)时,总有\(f(x)_{\min}=m\)。

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