每日一题[1192]最小值的最小值

已知函数 $f(x)={\rm e}^{mx-1}-\dfrac{\ln x}x$，其中 $m$ 是实数．

1、若 $m=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 $f(x)$ 的最小值为 $m$，求 $m$ 的最小值．

解    1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=m{\rm e}^{mx-1}+\dfrac{\ln x-1}{x^2},\]当 $m=1$ 时，有\[f'(x)=\dfrac{x^2{\rm e}^{x-1}+\ln x-1}{x^2},\]注意到分子部分在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且零点为 $x=1$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

2、根据题意，函数\[\varphi(x)=x{\rm e}^{mx-1}-mx-\ln x\]的最小值为 $0$，其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{(mx+1)\left(x{\rm e}^{mx-1}-1\right)}{x}.\]当 $m<0$ 时，考虑函数\[\mu(x)=x{\rm e}^{mx-1}-1,\]则其导函数\[\mu'(x)={\rm e}^{mx-1}(mx+1),\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\mu'(x)&+&0&-\\ \hline
\mu(x)&\nearrow&-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1&\searrow \\ \hline
\end{array}\]
情形一   $m<-{\rm e}^{-2}$．此时 $\mu(x)<0$，于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\varphi'(x)&-&0&+\\ \hline
\varphi(x)&\searrow&\min&\nearrow \\ \hline
\end{array}\]而\[\varphi\left(-\dfrac 1m\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}+1-\ln\left(-\dfrac{1}{m}\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1-\ln\left(-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}\right)>0,\]不符合题意．
情形二   $m=-{\rm e}^{-2}$．此时 $\mu(x)\leqslant 0$，等号当且仅当 $x=-\dfrac 1m$ 时取得，于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline
\varphi'(x)&-&0&+\\ \hline
\varphi(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline
\end{array}\]符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的最小值为 $-{\rm e}^{-2}$．