每日一题[1194]沉心静气

设函数 $f(x)=x^3+bx+c$,$\eta,\xi$ 是方程 $f(x)=0$ 的根,且 $f'(\xi)=0$,当 $0<\xi-\eta<1$ 时,关于函数 $g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+(b+2)x+(c-b+\eta)\ln x+d$ 在区间 $(\eta+1,\xi+1)$ 内的零点个数的说法中,正确的是(       )

A.至少有一个零点

B.至多有一个零点

C.可能存在 $2$ 个零点

D.可能存在 $3$ 个零点

    B.

根据题意,有\[f(x)=(x-\xi)^2(x-\eta),\]也即\[f(x)=x^3-\left(2\xi+\eta\right)x^2+\xi\left(\xi+2\eta\right)x-\xi^2\eta,\]于是\[\eta=-2\xi,b=-3\xi^2,c=2\xi^3.\]问题转化为研究当 $0<\xi<\dfrac 13$ 时,函数\[g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 32x^2+\left(-3\xi^2+2\right)x+\left(2\xi^3+3\xi^2-2\xi\right)\ln x+d,\]在区间 $\left(-2\xi+1,\xi+1\right)$ 内的零点个数.函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-\left(3\xi^2-2\right)x+2\xi^3+3\xi^2-2\xi}x,\]也即\[g'(x)=\dfrac{(x-\xi)(x+2\xi-1)(x-\xi-2)}{x},\]由于 $0<\xi <\dfrac 13$,于是\[\xi<-2\xi -1<\xi +2,\]于是在区间 $(-2\xi+1,\xi+1)$ 内 $g'(x)<0$,函数 $g(x)$ 单调递减,因此正确的选项为 B.

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每日一题[1194]沉心静气》有 1 条评论

  1. cbc123e说:

    倒数第三行应该是 - 2*ksi + 1 吧?减号改为加号.

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