每日一题[1190]迭代函数法

数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac2{a_n}-1$，$n\in \mathbb N^\ast$ 且数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$．

1、若 $\{a_n\}$ 是递增数列，求 $a_1$ 的取值范围；

2、若 $a_1>2$，且对任意 $n\in\mathbb N^\ast$，都有 $S_n\geqslant na_1-\dfrac13(n-1)$，证明：$S_n<2n+1$．

解    1、数列 $\{a_n\}$ 的递推公式对应的迭代函数\[f(x)=x+\dfrac 2x-1,\]如图．

若 $\{a_n\}$ 是递增数列，则 $a_1$ 的取值范围是 $(1,2)$，证明如下．
[[case]]充分性[[/case]]由于当 $x\in (1,2)$ 时，函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\in (1,2)$ 且 $f(x)>x$，于是由 $a_1\in (1,2)$ 可得 $a_2\in(1,2)$ 且 $a_2>a_1$，依次类推即得．
[[case]]必要性[[/case]]由于\[a_3=a_2+\dfrac 2{a_2}-1>a_2,\]于是\[a_1<a_2=a_1+\dfrac 2{a_1}-1<2,\]解得\[1<a_1<2.\]
综上所述，$a_1$ 的取值范围是 $(1,2)$．

2、根据迭代函数的图象，当 $a_1>2$ 时，数列 $\{a_n\}$ 单调递减趋于不动点 $x=2$．利用不动点改造递推公式，有\[\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=\dfrac{a_n-1}{a_n}.\]接下来估计数列 $\{a_n\}$ 的界．根据题意，有\[S_2=a_1+\left(a_1+\dfrac 2{a_1}-1\right)\geqslant 2a_1-\dfrac 13,\]解得\[2<a_1\leqslant 3,\]而当 $x\in (2,3)$ 时，$f(x)\in(2,3)$ 且 $ f(x)<x $，因此 $ \{a_n\}$ 单调递减，且\[2<a_n\leqslant 3,n\in\mathbb N^{\ast}.\]于是\[\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}\leqslant\dfrac 23,\]进而可得\[\left(a_1-2\right)\cdot 2\left[1-\left(\dfrac 12\right)^n\right]\leqslant S_n-2n\leqslant\left(a_1-2\right)\cdot 3\left[1-\left(\dfrac 23\right)^n\right].\]而根据题意，有\[S_n-2n\geqslant \left(a_1-\dfrac 73\right)n+\dfrac 13,\]于是\[2<a_1\leqslant \dfrac 73.\]类似的，可得\[2<a_n\leqslant \dfrac 73,n\in\mathbb N^{\ast},\]于是\[\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-2}\leqslant \dfrac 47,\]进而可得\[\left(a_1-2\right)\cdot 2\left[1-\left(\dfrac 12\right)^n\right]\leqslant S_n-2n\leqslant\left(a_1-2\right)\cdot \dfrac 73\left[1-\left(\dfrac 47\right)^n\right],\]而\[\left(a_1-2\right)\cdot \dfrac 73\left[1-\left(\dfrac 47\right)^n\right]<\left(\dfrac 73-2\right)\cdot \dfrac 73=\dfrac 79,\]因此\[S_n-2n<\dfrac 79,\]原命题得证．