每日一题[1190]迭代函数法

数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数,且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac2{a_n}-1$,$n\in \mathbb N^\ast$ 且数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$.

1、若 $\{a_n\}$ 是递增数列,求 $a_1$ 的取值范围;

2、若 $a_1>2$,且对任意 $n\in\mathbb N^\ast$,都有 $S_n\geqslant na_1-\dfrac13(n-1)$,证明:$S_n<2n+1$.

    1、数列 $\{a_n\}$ 的递推公式对应的迭代函数\[f(x)=x+\dfrac 2x-1,\]如图.

若 $\{a_n\}$ 是递增数列,则 $a_1$ 的取值范围是 $(1,2)$,证明如下.
[[case]]充分性[[/case]]由于当 $x\in (1,2)$ 时,函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\in (1,2)$ 且 $f(x)>x$,于是由 $a_1\in (1,2)$ 可得 $a_2\in(1,2)$ 且 $a_2>a_1$,依次类推即得.
[[case]]必要性[[/case]]由于\[a_3=a_2+\dfrac 2{a_2}-1>a_2,\]于是\[a_1<a_2=a_1+\dfrac 2{a_1}-1<2,\]解得\[1<a_1<2.\]
综上所述,$a_1$ 的取值范围是 $(1,2)$.

2、根据迭代函数的图象,当 $a_1>2$ 时,数列 $\{a_n\}$ 单调递减趋于不动点 $x=2$.利用不动点改造递推公式,有\[\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=\dfrac{a_n-1}{a_n}.\]接下来估计数列 $\{a_n\}$ 的界.根据题意,有\[S_2=a_1+\left(a_1+\dfrac 2{a_1}-1\right)\geqslant 2a_1-\dfrac 13,\]解得\[2<a_1\leqslant 3,\]而当 $x\in (2,3)$ 时,$f(x)\in(2,3)$ 且 $ f(x)<x $,因此 $ \{a_n\}$ 单调递减,且\[2<a_n\leqslant 3,n\in\mathbb N^{\ast}.\]于是\[\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}\leqslant\dfrac 23,\]进而可得\[\left(a_1-2\right)\cdot 2\left[1-\left(\dfrac 12\right)^n\right]\leqslant S_n-2n\leqslant\left(a_1-2\right)\cdot 3\left[1-\left(\dfrac 23\right)^n\right].\]而根据题意,有\[S_n-2n\geqslant \left(a_1-\dfrac 73\right)n+\dfrac 13,\]于是\[2<a_1\leqslant \dfrac 73.\]类似的,可得\[2<a_n\leqslant \dfrac 73,n\in\mathbb N^{\ast},\]于是\[\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}-2}\leqslant \dfrac 47,\]进而可得\[\left(a_1-2\right)\cdot 2\left[1-\left(\dfrac 12\right)^n\right]\leqslant S_n-2n\leqslant\left(a_1-2\right)\cdot \dfrac 73\left[1-\left(\dfrac 47\right)^n\right],\]而\[\left(a_1-2\right)\cdot \dfrac 73\left[1-\left(\dfrac 47\right)^n\right]<\left(\dfrac 73-2\right)\cdot \dfrac 73=\dfrac 79,\]因此\[S_n-2n<\dfrac 79,\]原命题得证.

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每日一题[1190]迭代函数法》有 1 条评论

  1. LycheeM LycheeM说:

    在得到\(a_1\le\frac73\)后,即可直接得到
    $$S_n-2n\le(a_1-2)\cdot 3\left[1-\left(\frac23\right)^n\right]<3(a_1-2)\le 1$$.

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