每日一题[1198]四心的向量表达

设 $D$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点,三角形 $DBC,DCA,DAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$,且 $S_1:S_2:S_3=\tan A:\tan B:\tan C$,$DA=DB=DC=2$,动点 $P,M$ 满足 $AP=1$,$M$ 为 $PC$ 的中点,则 $BM$ 的最小值为_______.

    $\dfrac 52$.

根据三角形垂心的向量表达,可知 $D$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心.又 $DA=DB=DC=2$,因此 $\triangle ABC$ 的外心与内心重合于 $D$,从而 $\triangle ABC$ 为正三角形,其高为 $3$,中心为 $D$. 取 $AC$ 的中点 $N$,则\[BM\geqslant BN-NM=BN-\dfrac 12AP=3-\dfrac 12=\dfrac 52,\]当 $M$ 在线段 $BN$ 上时取得等号,因此所求 $BM$ 的最小值为 $\dfrac 52$.

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