一个半径为 $2$ 的球放在桌面上，桌面上的一点 $A_1$ 的正上方有一个光源 $A$，$AA_1$ 与球相切，$AA_1=6$，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于_______．
已知 $a,b>0$，则 $m=\dfrac{a^2}{2a+4b}+\dfrac{2b^2+4}{ab+2}$ 的最小值为_______．
比较大小：${\log_4}\dfrac 87$_______${\log_5}\dfrac 65$．（用 $>,<$ 填空）
已知三个非零平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 两两的夹角均为 $\theta$，求 $\theta$．
已知正整数 $x,y$ 满足 $x+y+1\mid 2xy$，$x+y-1\mid x^2+y^2-1$，求所有的正整数对 $(x,y)$．
已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，点 $M(x_0,y_0)$ 不在双曲线 $E$ 上，且 $x_0y_0\ne 0$．$N\left(\lambda x_0,\lambda y_0\right)$，其中 $\dfrac 1{\lambda}=\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}$．过点 $N$ 的直线 $l$ 交双曲线 $E$ 于 $A,B$ 两点，过点 $B$ 作斜率为 $\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ 的直线交双曲线 $E$ 于点 $C$，求证：$A,M,C$ 三点共线．
已知 $m\in\mathbb N^{\ast}$，函数 $f(x)=\sin\left(\dfrac m5x+\dfrac{\pi}3\right)$ 满足 $\forall n\in\mathbb Z,\{ f(x)\mid n\leqslant x\leqslant n+1\}=[-1,1]$，则 $m$ 的最小值为_______．
设有 $10$ 个相同的红球和 $10$ 个相同的白球，从中任取 $10$ 个球排成一排，但红球不能相邻，则不同的排列方法数为_______．
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}3\right)$ 在 $(0,2]$ 上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 $\omega$ 的取值范围是_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=a_3=k$，$a_{n+1}=\dfrac{k+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）其中 $k>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=\dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}$（$n=1,2,3,\cdots$）．
1、求 $b_1,b_2,b_3,b_4$．
2、求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式．
3、是否存在正数 $k$，使得数列 $\{a_n\}$ 的每一项均为整数？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出所有的 $k$．
