已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$，求证：\[1\leqslant \dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \sqrt 2.\]
函数 $f(t,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)t-\sqrt 2\right|}{\sqrt{t^2-2\sqrt 2t\cos\alpha+2}}$，其中 $t\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是（ ）
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$2$
D．$\sqrt 5$
已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支分别交于 $A,B$ 两点，$\triangle AF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_1$，$\triangle BF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r_2$，若 $r_1=2r_2$，则直线 $l$ 的斜率为（ ）
A．$\pm 1$
B．$\pm \sqrt 2$
C．$\pm 2$
D．$\pm 2\sqrt 2$
已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知 $x\in\mathbb R$，解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$．
已知 $n$ 是奇数，且 $a_k=k=a_{n-k+1}$，$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$，则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______．
过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______．
设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\dfrac{\pi}9$，前 $8$ 项和为 $6\pi$，记 $\tan\dfrac{\pi}9=k$，则数列 $\{\tan a_n\cdot\tan a_{n+1}\}$ 的前 $7$ 项和为（ ）
A．$\dfrac{7k^2-3}{k^2-1}$
B．$\dfrac{3-7k^2}{k^2-1}$
C．$\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}$
D．$\dfrac{7k^2-11}{k^2-1}$
