已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac {1}{n^2}a_{n-1}^2$．
1、求证：$\dfrac {1}{a_{n-1}}-\dfrac {1}{a_{n}}<\dfrac {1}{n^2}$．
2、求证：$a_n<n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．
3、求证：$\dfrac {1}{a_{n}}\leqslant \dfrac {5}{6}+\dfrac {1}{n+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．
设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 四点，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点．
1、求证：线段 $A_3A_4$ 的中点是双曲线的中心．
2、求双曲线在点 $A_3$ 和 $A_4$ 处的切线和直线 $A_1A_2$ 的夹角的大小．
设 $-\dfrac {\pi}{2}\leqslant x \leqslant \dfrac {\pi}{2}$，且方程 $\cos 2x -4a \cos x -a+2=0$ 有两个不同的解，求 $a$ 的取值范围．
已知由 $3$ 的幂或者若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列：$1,3,4,9,10,12,13,\cdots$，则此数列的第 $100$ 项是_______．
称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2016,2017\}$，则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示）_______．
已知 $a>0$，$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．
2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．
若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+b-3=0$（$a,b \in \mathbb R$）在区间 $[1,2]$ 上有实根，则 $a^2+(b-4)^2$ 的最小值为_______．
已知 $P$ 为双曲线 $C: \dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$ 上一点，$F_1,F_2$ 为双曲线的左、右焦点，$M,I$ 分别为 $\triangle PF_1F_2$ 的重心、内心，若 $MI \perp x$ 轴，则 $\triangle PF_1F_2$ 内切圆的半径为_______．
答案 $\sqrt 6$．
解析 如图，设 $I$ 在 $\triangle PF_1F_2$ 三边上的投影分别为 $D,E,F$．
根据题意，有\[DF_1-DF_2=F_1F-F_2E=(PF_1-PF)-(PF_2-PE)=PF_1-PF_2=4,\]于是 $D$ 在双曲线 $C$ 上，为其右顶点．进而由 $MI\perp x$ 轴可得，$M$ 点的横坐标为 $2$，进而 $P(6,4\sqrt 6)$．根据双曲线的焦半径公式 $I$，有 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆的半径\[r=\dfrac{F_1F_2\cdot y_0}{PF_1+F_1F_2+F_2P}=\dfrac{2cy_0}{2ex_0+2c}=\sqrt 6,\]其中 $e$ 为双曲线的离心率，$x_0,y_0$ 为 $P$ 点横、纵坐标，$c$ 为双曲线半焦距．
已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点（$A,B$ 与点 $P$ 不重合）．求证：直线 $AB$ 过定点，并求该定点的坐标．
