已知 $x+y+z=0$，求证：$\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\cdot \dfrac{x^3+y^3+z^3}3$．
已知函数 $f(x)=(x+1){\rm e}^{ax}$（$a\ne 0$）在点 $\left(\dfrac 2a,f\left(\dfrac 2a\right)\right)$ 处的切线斜率为 $0$．
1、求 $a$ 的值．
2、求 $f(x)$ 在 $[t-1,t+1]$ 上的最大值．
3、设 $g(x)=f(x)+2x+3x\ln x$，求证：对任意 $x_1,x_2\in(0,1)$ 都有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\dfrac 2{{\rm e}^3}+\dfrac 3{{\rm e}}+1$．
已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，有 $|AB|=2$，$|AC|=4$，则 $|AO|\cdot |BC|$ 的最小值是_______．
如图，正四面体 $ABCD$ 中，点 $P,Q,R$ 分别在棱 $AB,AD,AC$ 上，且 $AQ=QD$，$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CR}{RA}=\dfrac 12$，分别记二面角 $A-PQ-R$，$A-PR-Q$，$A-QR-P$ 的平面角为 $\alpha,\beta,\gamma$，则（ ）
A．$\beta>\gamma>\alpha$
B．$\gamma>\beta>\alpha$
C．$\alpha>\gamma>\beta$
D．$\alpha>\beta>\gamma$
如图，矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 将 $\triangle ABD$ 翻折成 $\triangle A'BD$，异面直线 $CD$ 与 $A'B$ 所成的角为 $\alpha$，则（ ）
A．$\alpha<\angle A'CD$
B．$\alpha>\angle A'CD$
C．$\alpha<\angle A'CA$
D．$\alpha>\angle A'CA$
等腰直角三角形 $ABE$ 的斜边为正四面体 $ABCD$ 的侧棱，直角边 $AE$ 绕斜边 $AB$ 旋转，则在旋转的过程中，下列说法正确的有（ ）
A．四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值
B．存在某个位置，使得 $AE\perp BD$
C．设二面角 $D-AB-E$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta\geqslant \angle DAE$
D．$AE$ 的中点 $M$ 与 $AB$ 的中点 $N$ 连线交平面 $BCD$ 于点 $P$，则点 $P$ 的轨迹为椭圆
已知椭圆 $E$ 的左、右焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，设 $d$ 是从椭圆中心到过点 $P$ 的切线 $l$ 的距离．求证：$|PF_1|\cdot |PF_2|\cdot d^2$ 为定值．
段数有限的折线内接于抛物线，其始点与抛物线的顶点重合，折线中任意共顶点的两线段与抛物线在该点处的切线都成等角．证明：这样的折线只能位于抛物线对称轴一侧．
