定义区间 $[x_1,x_2]$ 的长度为 $x_2-x_1$．若函数 $y=|{\log_2}x|$ 的定义域为 $[a,b]$，值域为 $[0,2]$，则区间 $[a,b]$ 的长度的最大值与最小值的差为______．
设 $\delta=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 为 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的一个排列，记 $\displaystyle F(\delta)=\sum \limits_{i=1}^{n}a_ia_{i+1}$，$a_{n+1}=a_1$，求 $\min \limits_{\delta}F(\delta)$．
设 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb N^{\ast}$，证明：存在不全为零的数 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \{0,1,2\}$，使得 $\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3$ 和 $\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3$ 同时被 $3$ 整除．
设数列 $\{a_n\}$ 满足：$|a_{n+1}-2a_n|=2$，$|a_n|\leqslant 2$，$n=1,2,3,\cdots.$ 证明：如果 $a_1$ 为有理数，则从某项后 $\{a_n\}$ 为周期数列．
设 $f_1(x)=\sqrt {x^2+32}$，$f_{n+1}(x)=\sqrt {x^2+\dfrac {16}{3}f_n(x)}$，$n=1,2,\cdots$．对每个 $n$，求 $f_{n}(x)=3x$ 的实数解．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$，满足 $\left|\overrightarrow a\right|=1$，$\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=3$，$0<\lambda <1$．若 $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c=0$，则 $\left|\overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b -(1-\lambda)\overrightarrow c\right|$ 所有取不到的值组成的集合为_______．
已知棱长为 $1$ 的正四面体 $P-ABC$，$PC$ 的中点为 $D$，动点 $E$ 在线段 $AD$ 上，则直线 $BE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的取值范围为_______．
设函数 $f(x)=4x^3+bx+1$（$b\in \mathbb R$），对任意的 $x \in [-1,1]$，都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
已知方程 $E:x_1 +2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=2017$．
1、求使方程 $E$ 有正整数解的 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n $ 的最大正整数 $ n$．
2、用 $A_n$ 表示方程 $E$ 的所有正整数解 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)$ 构成的集合，当 $n$ 为奇数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个奇解；当 $n$ 为偶数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个偶解．证明：方程 $E$ 的所有奇解的个数与偶解的个数相等．
已知数列 $\{a_n\}$满足$a_{n+1}^2-a_{n+1}=a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．若数列 $\{a_n\}$ 各项单调递增，则首项 $a_1$ 的取值范围是_______；当 $a_1=\dfrac 23$ 时，记 $b_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{a_n-1}$，若 $k<b_1+b_2+\cdots+b_{2019}<k+1$，则整数 $k=$ _______．
