每日一题[1873]抛物线灭门人

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $x^2=2y$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点．

1、求 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值．

2、若点 $P$ 在线段 $MN$（不含端点）上运动，$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，求四边形 $OMQN$ 的面积的最小值．

解析

1、设 $M(2m,2m^2)$，$N(2n,2n^2)$，根据抛物线的平均性质，有 $2mn=-\dfrac 14$，因此\[\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=4mn+4m^2n^2=-\dfrac 12+\dfrac1{16}=-\dfrac 7{16}.\]

2、设 $P\left(\dfrac{2m+2n\lambda}{1+\lambda},\dfrac{2m^2+2n^2\lambda}{1+\lambda}\right)$，则四边形 $OMQN$ 的有向面积\[\begin{split} \overline S&=\dfrac 12\left|\begin{matrix} 2m-2n & 2m^2-2n^2\\ \dfrac{4m+4n\lambda}{1+\lambda}& \dfrac{4m^2+4n^2\lambda}{1+\lambda}\end{matrix}\right|\\ &=\dfrac{4(m-n)}{1+\lambda}\left|\begin{matrix} 1& m+n\\ m+n\lambda&m^2+n^2\lambda \end{matrix}\right|\\ &=\dfrac{4(m-n)}{1+\lambda}\cdot (-mn(1+\lambda))\\ &=\dfrac 12(m-n),\end{split}\] 因此四边形 $OMQN$ 的面积\[S=\dfrac 12\left(|m|+\dfrac 1{8|m|}\right)\geqslant \dfrac{\sqrt 2}4,\]等号当 $|m|=\dfrac{1}{2\sqrt 2}$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$．