每日一题[1876]诱导

已知数列 $a_n=\tan (11n)$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

1、求证:$a_1<a_3<a_5<\cdots<a_{709}$.

2、求证:数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列.

解析

1、考虑到 $a_{2k-1}=\tan(22k-11)$,进而\[a_{2k-1}=\tan\left((22-7\pi)(k-1)+11-4\pi\right),\]其中 $11-4\pi\in \left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$,当\[k-1\leqslant \left[\dfrac{\dfrac{\pi}2-(11-4\pi)}{22-7\pi}\right]\]即 $k\leqslant 355$ 时,$(22-7\pi)(k-1)+11-4\pi\in \left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$,考虑到 $\tan x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的单调性,因此命题得证.

2、当 $k$ 从 $355$ 继续增大时,必然可以使得 $(22-7\pi)(k-1)+11-4\pi$ 落在 $\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$,此时与 $a_{709}>0$ 矛盾,因此数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列.

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