每日一题[1869]寻找几何意义之二

已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$,求证:$\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$.

解析

欲证不等式即\[\cos z(\sin z-\sin y)+\cos y(\sin y-\sin x)+\cos x\sin x<\dfrac{\pi}4,\]如图,设 $A,B,C$ 分别是 $x,y,z$ 的终边与单位圆的公共点,则左侧为三个矩形的面积和,右侧为 $\dfrac 14$ 圆的面积,命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复