每日一题[1871]晶格数量积

如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为 $1$,正六边形的顶点称为“晶格点”.若 $A,B,C,D$ 四点均位于图中的“晶格点”处,且 $A,B$ 的位置如图所示,则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最大值为_______.

答案    $24$.

解析    如图,考虑所有“晶格点”在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影.

可知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$ 的最大值为 $AB\cdot QP$,等号当 $C=N$,$D=M$ 时取得.设 $\overrightarrow a=(90:1)$,$\overrightarrow b=(210:1)$,$\overrightarrow c=(-30:1)$,则有\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=-\dfrac 12,\]且\[\begin{cases}\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c,\\ \overrightarrow{NM}=-3\overrightarrow a+3\overrightarrow b+\overrightarrow c,\end{cases}\]因此\[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{NM}=9\overrightarrow a^2+6\overrightarrow b^2+\overrightarrow c^2-15\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+5\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c-6\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=16-(-8)=24.\]

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