每日一题[1870]对称换元

已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的模分别为 $2,\sqrt 3,1$,且 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=5$,则 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的夹角的余弦的最小值等于_______.

答案    $\dfrac{\sqrt 5}{15}$.

解析    根据题意,有\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c +\overrightarrow c^2=5\implies \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-4=\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c,\]设 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=m$,$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=n$,则\[m^2+n^2=2\overrightarrow a^2+2\overrightarrow b^2=14,\]且\[-m\leqslant \dfrac{m^2-n^2}4-4\leqslant m\iff -m\leqslant \dfrac{2m^2-14}4-4\leqslant m\iff 3\leqslant m\leqslant 5,\]考虑到 $m,n\in\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$,可得 $m$ 的取值范围是 $\left[3,2+\sqrt 3\right]$,且所求余弦\[\cos\theta=\dfrac{\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|\cdot\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|}=\dfrac{1}{mn}=\dfrac{m^2+n^2}{14mn}=\dfrac{\dfrac mn+\dfrac nm}{14}\geqslant \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt 5}+\dfrac{\sqrt 5}3}{14}=\dfrac{\sqrt 5}{15},\]等号当 $m=3$ 且 $n=\sqrt 5$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}{15}$.

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每日一题[1870]对称换元》有1条回应

  1. 高一菜鸡说:

    每次看这种题都备受打击

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