Math173

设 $W$ 是由平面内的 $n $（$ n\geqslant 3 $）个向量组成的集合．若 $ \overrightarrow{a}\in W $，且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模，则称 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一个极大向量．有下列命题：

① 若 $ W $ 中每个向量的方向都相同，则 $ W $ 中必存在一个极大向量；

② 给定平面内两个不共线向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $，在该平面内总存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $，使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每个元素都是极大向量；

③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 与 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每个元素都是极大向量，且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $，则 $ W_1\cup W_2$ 中的每一个元素也都是极大向量．

其中真命题的序号有_______．

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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列，对于各项都是正数的数列 $\{x_{n}\}$，满足 $x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}}$（$n\in\mathbb N^{*}$）．

1、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等比数列．

2、把数列 $\{x_{n}\}$ 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当 $x_{3}=8$，$x_{7}=128$ 时，求第 $m$ 行各数的和； \[\begin{array}{cccc}\\ x_{1}&&&\\ x_{2}&x_{3}&&\\ x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ x_{7}&x_{8}&x_{9}&x_{10}\\ \cdots&\cdots&&\\ \end{array}\]

3、对于 $(2)$ 中的数列 $\{x_{n}\}$，证明：$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}$．

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对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$，如果 $a_{i}+i$（$i=1,2,3,\cdots$）为完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”． 不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”，如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$，且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件； ① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列； ② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”．

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\dfrac{n}{3}\left(n^{2}-1\right)$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$”．

2、试判断数列 $1,2,3,4,5$ 和数列 $1,2,3,\cdots,11$ 是否具有“变换 $P$ 性质”，具有此性质的数列请写出对应的数列 $\{b_{n}\}$，不具此性质的说明理由．

3、对于有限项数列 $A:1,2,3,\cdots,n$．某人已经验证当 $n\in[12,m^{2}](m\geqslant 5)$ 时，数列 $A$ 具有“变换 $P$ 性质”．试证明：当 $n\in\left[m^{2}+1,(m+1)^{2}\right]$ 时，数列 $A$ 也具有“变换 $P$ 性质”．

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=0$，$a_{n}=\begin{cases}2a_{\frac{n}{2}}+1,&2\mid n,\\ \dfrac{n+1}{2}+2a_{\frac{n-1}{2}},&2\nmid n\end{cases},n=2,3,4,\cdots$．

1、求 $a_{5},a_{6},a_{7}$．

2、设 $b_{n}=\dfrac{a_{2^{n}-1}}{2^{n}}$，试求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

3、对任意的正整数 $n$，试讨论 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的大小关系．

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已知曲线 $C:xy=1$，过 $C$ 上一点 $A_{1}(x_{1},y_{1})$ 作斜率 $k_{1}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$，再过 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{3}(x_{3},y_{3})$，$\cdots$，过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 作斜率为 $k_{n}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$，$\cdots$，其中 $x_{1}=1$，$k_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}},x\in\mathbb N^{*}$．

1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式．

2、判断 $x_{n}$ 与 $2$ 的大小关系，并证明你的结论．

3、求证：$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|+\cdots+|x_{n}-2|<2$．

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已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$（$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$，$n\geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$），$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$．

1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．

2、证明：$a_{1}=1$，且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$．

3、证明：当 $n=5$ 时，$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列．

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已知对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$，求证：对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

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如图，在单位四面体 $ABCD$ 中，$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上，满足 $BM=DN=\dfrac 13$，$DK=\dfrac 14$，则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______．

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已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$．

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