每日一题[1486]变换P性质

对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$,如果 $a_{i}+i$($i=1,2,3,\cdots$)为完全平方数,则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”. 不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”,如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$,且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件; ① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列; ② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”,则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”.

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\dfrac{n}{3}\left(n^{2}-1\right)$,证明数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$”.

2、试判断数列 $1,2,3,4,5$ 和数列 $1,2,3,\cdots,11$ 是否具有“变换 $P$ 性质”,具有此性质的数列请写出对应的数列 $\{b_{n}\}$,不具此性质的说明理由.

3、对于有限项数列 $A:1,2,3,\cdots,n$.某人已经验证当 $n\in[12,m^{2}](m\geqslant 5)$ 时,数列 $A$ 具有“变换 $P$ 性质”.试证明:当 $n\in\left[m^{2}+1,(m+1)^{2}\right]$ 时,数列 $A$ 也具有“变换 $P$ 性质”.

解析

1、当 $n=1$ 时,$$a_{1}=S_{1}=\dfrac{1}{3}(1^{2}-1)=0;$$ 当 $n>1$ 时,\[\begin{split}a_{n}&=S_{n}-S_{n-1}\\ &=\dfrac{n}{3}(n^{2}-1)-\dfrac{n-1}{3}\left[(n-1)^{2}-1\right]\\ &=n^{2}-n.\end{split}\]因此,$\{a_{n}\}$ 的通项公式为$$a_{n}=n^{2}-n,$$明显具有 $P$ 性质.

2、将完全平方数可以分解的形式用下表表示:\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5\\ \hline 1&\quad &\quad&\checkmark&\quad&\quad\\ \hline 2&\quad&\checkmark &\quad&\quad&\quad \\ \hline 3&\checkmark &\quad&\quad&\quad&\quad\\ \hline4&\quad&\quad&\quad&\quad&\checkmark \\ \hline 5&\quad&\quad&\quad&{\checkmark} &\quad\\ \hline \end{array}\]于是数列 $1,2,3,4,5$ 重排列 $3,2,1,5,4$ 后具有 $P$ 性质,所以数列 $1,2,3,4,5$ 具有变换 $P$ 性质;\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline 1& & &\checkmark&&&&&\checkmark& & &\\ \hline 2&&\checkmark &&&&&\checkmark&&&& \\ \hline 3&\checkmark&&&&&\checkmark&&&& &\\ \hline 4&&&&&\checkmark&&&&&& \\ \hline 5&&&&\checkmark&&&&&&&\checkmark\\ \hline 6&&&\checkmark&&&&&&&\checkmark& \\\hline 7&&\checkmark &&&&&&&\checkmark && \\ \hline 8 &\checkmark &&&&&&&\checkmark &&&\\ \hline 9 &&&&&&&\checkmark &&&&\\ \hline 10&&&&&&\checkmark &&&&&\\ \hline 11&&&&&\checkmark &&&&&&\\ \hline \end{array}\]发现 $4,11$ 都需要处于第 $5$ 位才能保证 $P$ 性质,于是数列 $1,2,\cdots,10,11$ 不具有变换 $P$ 性质.

3、将上面用的表格作进一步抽象处理.

如上图,将数表概括抽象,所谓变换 $P$ 性质,就是可以将 $Ox$ 轴上的线段 $OX$ 通过不同的反射线 $\left(4,9,\cdots,m^{2},(m+1)^{2},(m+2)^{2},\cdots\right)$ 反射到 $Oy$ 轴上成为等长的线段 $OY$.(为清晰起见,图中没有画出反射线 $(m+1)^{2}$). 设 $A(n,0)$,其中$$m^{2}\leqslant n^{2}\leqslant (m+1)^{2}.$$先利用反射线 $(m+2)^{2}$ 将线段 $OA$ 中的一部分 $BA$ 反射至 $A'B'$. 易知 $M\left(n,(m+2)^{2}-n\right)$,$N\left((m+2)^{2},n\right)$,于是 $A'\left(0,(m+2)^{2}-n\right)$,$B'(0,n)$,$B\left((m+2)^{2}-n,0\right)$,则 $B$ 的横坐标 $x_{B}$ 满足\[(m+2)^{2}-(m+1)^{2}\leqslant x_{B}\leqslant (m+2)^{2}-m^{2},\]即\[2m+3\leqslant x_{B}\leqslant 4m+4,\]而当 $m\geqslant 5$ 时,\[2m+3\geqslant 13, 4m+4\leqslant m^{2}+1,\]因此 $x_{B}-1\in\left[12,m^{2}\right]$. 根据假设,线段 $OB$ 可以通过不同的反射线反射到 $OY$ 轴上称为线段 $OA'$. 综上,$Ox$ 轴上的线段 $OA$ 可以通过不同的反射线到 $Oy$ 轴上的等长线段 $OB'$,也即数列 $A$ 具有变换性质 $P$,原命题得证.

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