设 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$$\dfrac{a\left(a^2+bc\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(b^2+ca\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(c^2+ab\right)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca.$$
设 $n$ 是正整数，当 $n>100$ 时，$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是_______．
设 $x,y\in\mathbb R$，且 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $x-|y|$ 的最小值是（ ）
A．$\sqrt3$
B．$2$
C．$2\sqrt3$
D．$4$
已知双曲线 $\dfrac {x^2}4-\dfrac {y^2}3=1$，设其实轴端点为 $A_1,A_2$，点 $P$ 是双曲线上不同于 $A_1,A_2$ 的一个动点，直线 $PA_1,PA_2$ 分别与直线 $x=1$ 交于 $M_1,M_2$ 两点．证明：以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必经过定点．
已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{\left(\dfrac 5{12}\right)^2+b^2}$ 的最小值．
对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．
已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2} {a^2}+\dfrac{y^2} {b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，点 $P\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,1\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H\left(\dfrac {2\sqrt6} 3,-\dfrac 5 3\right)$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点．记直线 $AD,AE$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $k_1+ k_2=-\dfrac 1 2$，求直线 $l$ 的方程．
已知整系数多项式 $f(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$，若 $f\left(\sqrt 3+\sqrt 2\right)=0$，$f(1)+f(3)=0$，则 $f(-1)=$ _______．
实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda$（$\lambda>0$），求\[f=\min\big\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\big\}\]的最大值．
已知圆 $O:x^2+y^2=4$ 与曲线 $C:y=3|x-t|$，$A(m,n)$ 和 $B(s,p)$（$m,n,s,p\in\mathbb N^{\ast}$）为曲线 $C$ 上的两点，使得圆 $O$ 上任意一点到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $k$（$k>1$），求 $t$ 的值．
