每日一题[1513]巧合数

对于正整数 $n$,将其各位数字之和记为 $s(n)$,各位数字之积记为 $p(n)$,若成立 $s(n)+p(n)=n$,就称 $n$ 为巧合数,则所有巧合数的和为_______.

答案       $531$.

解析       设 $n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1}$($k\geqslant 2$,$k\in\mathbb N$),则根据题意,有\[(a_1+a_2+\cdots+a_k)+a_1a_2\cdots a_k=a_k\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_2\cdot 10+a_1,\]也即\[a_1a_2\cdots a_k=a_k\cdot (10^{k-1}-1)+\cdots+a_2\cdot 9.\]若 $k\geqslant 3$,则\[LHS\leqslant 9^{k-1}a_k<a_k\cdot (10^{k-1}-1)<RHS,\]不符合题意.因此 $k=2$,进而\[a_1a_2=9a_2\implies a_1=9,\]故所有巧合数之和为\[\sum_{k=1}^9(10k+9)=450+81=531.\]

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