每日一题[1509]阿波罗尼斯圆

已知圆 $O:x^2+y^2=4$ 与曲线 $C:y=3|x-t|$,$A(m,n)$ 和 $B(s,p)$($m,n,s,p\in\mathbb N^{\ast}$)为曲线 $C$ 上的两点,使得圆 $O$ 上任意一点到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $k$($k>1$),求 $t$ 的值.

答案       $\dfrac4 3$.

解析       根据阿波罗尼斯圆的性质,$OB,2,OA$ 成公比为 $k$ 的等比数列,且 $O,B,A$ 三点依次共线,于是\[\dfrac ms=\dfrac np=k^2,\]进而\[OA^2=m^2+n^2=k^4(s^2+p^2)=4k^2,\]于是\[k^2=\dfrac{4}{s^2+p^2}>1,\]从而\[s^2+p^2<4,\]因此 $(s,p)=(1,1)$,进而 $k=\sqrt 2$,$(m,n)=(2,2)$,从而\[\begin{cases} 1=3|1-t|,\\ 2=3|2-t|,\end{cases}\iff t=\dfrac 43.\]

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