若对一切 $\theta\in\mathbb R$，复数 $z=(a+\cos\theta)+(2a-\sin\theta){\rm i}$ 的模不超过 $2$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
设 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足 $0<\alpha<\beta<\gamma<2\pi$，若对于任意 $x\in\mathbb R$，$\cos (x+\alpha)+\cos(x+\beta)+\cos(x+\gamma)=0$，则 $\gamma -\alpha=$_______．
确定所有的复数 $\alpha$，使得对满足 $|z_1|,|z_2|<1$，$z_1\neq z_2$ 的任意复数 $z_1,z_2$），均有\[(z_1+\alpha)^2+\alpha \overline {z_1}\neq (z_2+\alpha)^2+\alpha \overline {z_2}.\]
设非负实数 $x,y$ 满足 $3x+y=1$．则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2t-3$（$t\in \mathbb R$ 且 $t\ne \pm 1$），且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有\[a_{n+1}=\dfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}.\]
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、若 $t>0$，试比较 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的大小．
数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2}$（$n\in\mathbb N$）．
1、求证：对任意 $n\in\mathbb N$，$a_n$ 为正整数．
2、求证：对任意 $n\in\mathbb N$，$a_na_{n+1}-1$ 为完全平方数．
设正实数 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant b \leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$．证明：$abc+1>3a$．
作斜率为 $\dfrac 13$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A,B$ 两点（如图所示），且 $P\left(3\sqrt 2,\sqrt 2\right)$ 在直线 $l$ 的左上方．
1、证明：$\triangle{PAB}$ 的内切圆的圆心在一条定直线上．
2、若 $\triangle{APB}=60^{\circ}$，求 $\triangle{PAB}$ 的面积．
已知 $a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot (\sqrt[3]6)^{200-n}\cdot \left(\dfrac 1{\sqrt 2}\right)^n$（$n=1,2,\cdots ,95$），则数列 $\{a_n\}$ 中整数项的个数为_______．
答案 $15$．
解析 由条件知\[a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot 3^{\frac{200-n}{3}}\cdot 2^{\frac{400-5n}{6}}.\]要使 $a_n$（$n=1,2,\cdots,95$）为整数，必有 $\dfrac{200-n}{3},\dfrac{400-5n}{6}$ 均为整数，从而$$6\mid n+4.$$
情形一 当 $n=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80$ 时，$\dfrac{200-n}{3}$ 和 $\dfrac{400-5n}{6}$ 均为非负整数，所以 $a_n$ 为整数，共有 $14$ 个．
情形二 当 $n=86$ 时，$$a_{86}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}\cdot 3^{38}\cdot 2^{-5},$$在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}=\dfrac{200!}{86!\cdot 114!}$ 中，$200!$ 中因数 $2$ 的个数为$$\left[\dfrac{200}{2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^3}\right]+\left[\dfrac{200}{2^4}\right]+\left[\dfrac{200}{2^5}\right]+\left[\dfrac{200}{2^6}\right]+\left[\dfrac{200}{2^7}\right]=197,$$ 同理可计算得 $86!$ 中因数 $2$ 的个数为 $82$，$114!$ 中因数 $2$ 的个数为 $110$，所以 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为$$197-82-110=5,$$故 $a_{86}$ 是整数．
情形三 当 $n=92$ 时，$$a_{92}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}\cdot 3^{36}\cdot 2^{-10},$$在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}=\dfrac{200!}{92!\cdot 108!}$ 中，同样可求得 $92!$ 中因数 $2$ 的个数为 $88$，$108!$ 中因数 $2$ 的个数为 $105$，故 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为$$197-88-105=4,$$故 $a_{92}$ 不是整数． 因此，整数项的个数为 $14+1=15$．
