Math173

已知圆 $O:x^2+y^2=4$，直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $P,Q$ 两点，$A(2,2)$，若 $AP^2+AQ^2=40$，则弦 $PQ$ 的长度的最大值为______．

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已知 $f(x)=\dfrac{a^x-1}{a^x+1}$（$a>1$），实数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)+f(x_2)=1$，则 $f(x_1+x_2)$ 的最小值为______．

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求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{k+1}{k^2(k+2)^2}<\dfrac{5}{16}$．

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已知函数 $f(x)=\ln x+a\left(\dfrac 1x-1\right)$，$a\in\mathbb R$． 若 $f(x)\geqslant 0$，

1、求实数 $a$ 的取值范围．

2、求证：${\rm e}^x+\dfrac 1x\geqslant 2-\ln x+x^2+({\rm e}-2)x$．

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在 $\triangle QRS$ 中，$\angle QRS$ 平分线交 $QS$ 于 $T$，设 $QT=m$，$TS=n$，$m,n$ 均为正整数且 $n>m$．若 $\triangle QPS$ 的周长 $p$ 为整数，且有 $m^2+2m-1$ 种不同的取值，则 $n-m=$ （       ）

A．$4$

B．$1$

C．$3$

D．$2$

E．$5$

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，异于原点的 $A,B,C$ 三点满足 $OA^2+2OB^2+3OC^2=6$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．

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设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数，且 $f(2)=0$，则 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 上的实数解的个数的最小值是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$7$

D．以上答案都不对 继续阅读 →

已知函数 $f(x)=(kx-1){\rm e}^x-k(x-1)$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率与 $k$ 无关，求 $x_0$．

2、若存在实数 $x$ 使 $f(x)<0$ 成立，求整数 $k$ 的最大值．

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已知实数 $x,y$ 满足 $x(x+y)=1+2y^2$，则 $5x^2-4y^2$ 的最小值为_______．

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复平面上的一个关于原点对称的六边形的顶点对应的复数集为\[V=\left\{ \sqrt{2}{\rm i},-\sqrt{2}{\rm i}, \dfrac{1}{\sqrt{8}}(1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(1-{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1-{\rm i}) \right\},\]从 $V$ 中随机选择元素 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$），且 $P$ 是这 $12$ 个数的乘积，则 $P=-1$ 的概率是（       ）

A．$ \dfrac{5\cdot11}{3^{10}} $

B．$ \dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}} $

C．$ \dfrac{5\cdot11}{3^{9}} $

D．$ \dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}} $

E．$ \dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}$

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