每日一题[1517]估值

设 $n$ 是正整数,当 $n>100$ 时,$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是_______.

答案       $49$.

解析       注意到\[\sqrt{n^2+3n+1}=\sqrt{\left(n+\dfrac 32\right)^2-\dfrac 54}<(n+1)+0.5,\]而\[\begin{split} (n+1)+0.49&=\sqrt{n^2+2.98n+2.2201}\\ &=\sqrt{n^2+3n+1-(0.02n-1.2201)}\\ &<\sqrt{n^2+3n+1},\end{split}\]于是 $\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是 $49$.

备注       也可以笔算开平方计算 $\sqrt{101^2+3\cdot 101+1}=\sqrt{10505}= 102.49\cdots$.

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