将一个凸 $2019$ 边形的每条边任意染成红、绿、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各 $673$ 条．证明：可作这个凸 $2019$ 边形的 $2016$ 条在内部互不相交的对角线，将其剖分成 $2017$ 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、绿、黄三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部线条相同，或者颜色互不相同．
设 $a,b,c$ 均大于 $1$，满足\[\begin{cases} \lg a+{\log_b}c=3,\\ \lg b+{\log_a}c=4,\end{cases}\]求 $\lg a\cdot \lg c$ 的最大值．
设正数 $a,b$ 满足 $ab(a+8b)=20$，则 $a+3b$ 的最小值为（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$\sqrt[3]{60}$
D．$\dfrac{4\sqrt[3]{60}}{3}$
设等差数列 $\{a_n\}$ 的各项均为整数，首项 $a_1=2019$，且对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $a_1+a_2+\cdots+a_n=a_m$．这样的数列 $\{a_n\}$ 的个数为_______．
设整数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2019}$ 满足 $1=a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_{2019}=99$．记\[f=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2)-(a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+\cdots+a_{2017}a_{2019}),\]求 $f$ 的最小值 $f_0$，并确定使 $f=f_0$ 成立的数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_{2019})$ 的个数．
称一个复数数列 $\{z_n\}$ 为“有趣的”，若 $|z_1|=1$，且对任意正整数 $n$，均有 $4z_{n+1}^2+2z_nz_{n+1}+z_n^2=0$．求最大的常数 $C$，使得对一切有趣的数列 $\{z_n\}$ 及任意正整数 $m$，具有 $|z_1+z_2+\cdots+z_m|\geqslant C$．
点 $F$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的焦点，过点 $F$ 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 $A$，与另一条渐近线交于点 $B$．若 $3\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=0$，则双曲线 $C$ 的离心率是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt5}{2}$
B．$\dfrac{\sqrt6}{2}$
C．$\sqrt3$
D．$\sqrt6$
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma:y^2=4x$ 恰有一个公共点，且圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$．求圆 $\Omega$ 的半径．
已知圆 $x^2+y^2=4$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线交抛物线 $y^2=8x$ 于 $A,B$ 两点，且满足 $\angle AOB=90^\circ$，其中 $O$ 为坐标原点，则 $x_0=$ （ ）
A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac 12$
C．$1$
D．$2$
将 $6$ 个数 $2,0,1,9,20,19$ 按任意次序排成一行，拼成一个 $8$ 位数（首位不为 $0$），则产生的不同的 $8$ 位数的个数为_______．
