每日一题[1515]斜率积定义

已知双曲线 $\dfrac {x^2}4-\dfrac {y^2}3=1$,设其实轴端点为 $A_1,A_2$,点 $P$ 是双曲线上不同于 $A_1,A_2$ 的一个动点,直线 $PA_1,PA_2$ 分别与直线 $x=1$ 交于 $M_1,M_2$ 两点.证明:以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必经过定点.

答案       定点 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 和 $\left(\dfrac 52,0\right)$.

解析       根据对称性,若线段 $M_1M_2$ 为直径的圆过定点,则定点必然在 $x$ 轴上.设 $M_1(1,m_1)$,$M_2(1,m_2)$,$P(x_0,y_0)$,直线 $PA_1,PA_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$,则有\[\begin{cases} \dfrac{m_1}{1+2}=k_1,\\ \dfrac{m_2}{1-2}=k_2,\end{cases}\implies \begin{cases} m_1=3k_1,\\ m_2=-k_2,\end{cases}\]以 $M_1M_2$ 为直径的圆\[M:(x-1)^2+(y-m_1)(y-m_2)=0,\]其横截距为\[1+\pm\sqrt{-m_1m_2}=1\pm\sqrt{3k_1k_2},\]由双曲线的斜率积定义,有 $k_1k_2=\dfrac 34$,于是以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必经过定点 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 和 $\left(\dfrac 52,0\right)$.

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