每日一题[1519]因式分解

设 $a,b,c$ 均为正实数,求证:$$\dfrac{a\left(a^2+bc\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(b^2+ca\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(c^2+ab\right)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca.$$

解析       不考虑 $a,b,c$ 均为正实数,注意到 $a+b+c=0$ 时,有\[LHS-RHS=-(a+b+c)^2=0,\]于是代数式\[m=\sum_{\rm cyc}\left(a(a^2+bc)(c+a)(a+b)\right)-(a+b)(b+c)(c+a)\sum_{\rm cyc}ab\]包含因式 $a+b+c$.事实上,有\[\begin{split} m&=\sum_{\rm cyc}\left(a^5+a^4b-a^3b^2-a^2b^3+ab^4-a^2b^2c\right)\\ &=(a+b+c)\left(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\\ &=\dfrac 12(a+b+c)\sum_{\rm cyc}\left(a^2-b^2\right)^2,\end{split}\]因此原不等式得证.

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